世界のナベアツがアホになる確率 - 飛べないブタはただのブタさん

昨日出た問題

ある自然数を選んだとき、世界のナベアツがアホになる確率を求めよ。
なお、ナベアツは３の倍数と３のつく数字のときにアホになるとする。

とりあえず解答を

アプローチとしては「3の倍数と3のつく数字」を仮に「ナベアツ数」と定義すると、その余事象「3の倍数でもなく、3がつかない数字」（これを非ナベアツ数とします）が出る確率を考えることがスマートです。
　
まずは粗い解答から。仮に1からN桁までの自然数（ $10^N - 1 = 9999...99$ )の範囲における確率として考えると、

3の倍数にならない確率は $\frac{2}{3}$
各桁の数が3以外の数字になる確率は $(\frac{9}{10})^N$

となるので、非ナベアツ数が出る確率は、
$\frac{2}{3}(\frac{9}{10})^N$
より、ナベアツ数となる確率は
$1-\frac{2}{3}(\frac{9}{10})^N$

となる。

ところがこの解答には穴があって、たとえば各桁の数に3以外の数を入れたとすると、それらのうち3の倍数である確率が決して1/3ではないのは自明ですね。なのでこれはあくまでも近似解。
　
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正しい解答はたぶん次のように考えるんだと思います。アプローチはさっきと同じ「非ナベアツ数」となる確率を考えます。

まず定義域として、0からN桁までの整数を考えます。*1

そして、N=1とN≧2の場合で分けて考えます。
まずN=1のときは、ナベアツ数は3,6,9の3通り。よって1/3。
問題はN≧2のとき。さっきはN桁のときの各位の数について考えましたが、そうではなくて、N-1桁の数から一つ桁を増やすことを考えてみます。

まず、N-1桁のときに非ナベアツ数となる確率を $A_{N-1}$ とします。N-1桁の非ナベアツ数から、上位に1桁増やすことを考えます。その増やす数については場合分けが必要です。
非ナベアツ数は3の倍数ではないので、各位の総和を3で割ると余りが1か2となるはずです。

あまりが1のとき、N桁のときもナベアツ数にならないためには、上位にくる数は、0,1,4,6,7,9の6通りがあります*2
あまりが2のときは、0,2,5,6,8,9のこれも6通りとなります。

ということは、N-1桁のときに非ナベアツ数であれば、1桁増やしたときに非ナベアツ数である確率は $\frac{6}{10}$ となります。つまり
$A_N = \frac{6}{10}A_{N-1}$
となります。簡単な漸化式です。
ではN=2のときを考えます。1の位は0〜9までの3以外の数が付きます。10の位ですが、1の位の数を3で割った余りが1or2のときは上記のとおり、6通りきます。では1の位が0,6,9のときはどうなるかというと、これも1,2,4,5,7,8の6通りです。なのでN=2のときの非ナベアツ数となる確率は、
$A_2=\frac{9}{10}*\frac{6}{10}$
となります。以上より、
$A_N=\frac{9}{10}(\frac{6}{10})^{N-1}$
$A_N=\frac{9*6^{N-1}}{10^N}$
となります。

気をつけなければならないのは、この確率は0からN桁までの整数というように、0も含んでいる場合の確率です。本当の条件は1,2,3...と自然数なので、0は省きます。0は言わずもがな3の倍数としてカウントできるので、非ナベアツ数となる本当の確率は母数から0を省いて、
$A_N=\frac{9*6^{N-1}}{10^N-1}$
となります。よってナベアツ数となる確率は、
$A_N=1-\frac{9*6^{N-1}}{10^N-1}$ (N≧2)
となります。